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<!DOCTYPE html>

<title>Halbachsen der Ellipse</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Halbachsen der Ellipse</span></h1>

</header>

</div>

<p>Als <b>Halbachsen</b> werden die beiden charakteristischen <a href="Radius" title="Radius">Radien</a> einer <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> bezeichnet:

</p>

<ul><li>Die <b>große Halbachse</b> ist die Hälfte des größten Durchmessers einer Ellipse, der auch <b>Hauptachse</b> genannt wird.</li>

<li>Die <b>kleine Halbachse</b> ist die Hälfte des kürzesten Durchmessers (<b>Nebenachse</b>) und steht genau im <a href="Rechter_Winkel" title="Rechter Winkel">Winkel von 90°</a> zur großen Halbachse.</li></ul>

<p>Der <a href="Kreis_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Kreis (Geometrie)">Kreis</a> ist eine spezielle Ellipse, bei der diese beide Halbachsen gleich lang sind, in diesem Fall entsprechen beide Halbachsen jeweils dem Radius des Kreises.

</p><p>Die Hauptachse (der größte Durchmesser, hier <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}">

<mover>

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</mrow>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/876326cd7db7ce8733c8e35ff2b3196170ccb0c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.073ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}" loading="lazy"></span>) und die Nebenachse (der kleinste Durchmesser, hier <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {S_{3}S_{4}}}}">

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</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52b1b48c8dfc92a2ffc111e5e340aba69c58e619.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.073ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {S_{3}S_{4}}}}" loading="lazy"></span>) werden gemeinsam auch als die <b>Hauptachsen</b> der Ellipse bezeichnet. Haupt- und Nebenachse sind <a href="Konjugierte_Durchmesser" title="Konjugierte Durchmesser">konjugierte Durchmesser</a>. Diese Beziehung bleibt auch bei „schräger“ Betrachtungsweise der Ellipse erhalten, was zur geometrischen Konstruktion von anderen konjugierten Durchmessern genutzt werden kann.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Astronomie">Astronomie</h2></div>

<p>In der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> ist die große Halbachse einer <a href="Keplerbahn" title="Keplerbahn">keplerschen Umlaufbahn</a> eines der sechs sogenannten <a href="Bahnelement" title="Bahnelement">Bahnelemente</a> und wird oft auch ungenau als „mittlere Entfernung“ angegeben und meistens mit <i><b>a</b></i> abgekürzt. Sie charakterisiert – zusammen mit der <a href="Exzentrizit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Exzentrizität (Mathematik)">Exzentrizität</a> – die Form von elliptischen <a href="Umlaufbahn" title="Umlaufbahn">Umlaufbahnen</a> verschiedener Himmelskörper.

</p><p>Solche Körper sind in erster Linie die <a href="Planet" title="Planet">Planeten</a> und ihre <a href="Satellit_(Astronomie)" class="mw-redirect" title="Satellit (Astronomie)">Monde</a>, <a href="Satellit_(Raumfahrt)" title="Satellit (Raumfahrt)">künstliche Erdsatelliten</a>, die <a href="Asteroid" title="Asteroid">Asteroiden</a> und tausende <a href="Doppelstern" title="Doppelstern">Doppelsterne</a>.

</p><p>Nach dem dritten <a href="Keplersche_Gesetze" title="Keplersche Gesetze">Gesetz von Kepler</a> ist die <a href="Umlaufzeit" title="Umlaufzeit">Umlaufzeit</a> <i>U</i> einer Ellipsenbahn mit <i>a</i> gekoppelt (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U^{2}/a^{3}=\mathrm {const} }">

<msup>

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</msup>

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<msup>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U^{2}/a^{3}=\mathrm {const} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b45ef1d9226f40db501929416c0b92053036df0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.749ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle U^{2}/a^{3}=\mathrm {const} }" loading="lazy"></span>). Die Konstante hängt mit der <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> des Zentralkörpers zusammen – in einem <a href="Planetensystem" title="Planetensystem">Planetensystem</a> also mit der Masse des <a href="Zentralstern" class="mw-redirect" title="Zentralstern">Zentralsterns</a>.

</p><p>Die beiden Hauptscheitel nennt man <i><a href="Apsis_(Astronomie)" title="Apsis (Astronomie)">Apsiden</a></i>, die Hauptachse ist die <i>Apsidenlinie</i>: Wenn ein Körper im Brennpunkt F<sub>1</sub> liegt und ein kleinerer Körper ihn auf einer Ellipse umkreist, so spricht man beim kürzesten Abstand (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {S_{1}F_{1}}}}">

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</msub>

<msub>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {S_{1}F_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36b1c86c7bdf2623e23792b3594380d3d88a5a69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.143ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {S_{1}F_{1}}}}" loading="lazy"></span> = <i>a</i>−<i>e</i>) von der <i>Periapsis</i> und beim längsten Abstand (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {S_{2}F_{1}}}}">

<mover>

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<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {S_{2}F_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5dc5ed5efd606770dea9685c725cd983ef7351d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.143ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {S_{2}F_{1}}}}" loading="lazy"></span> = <i>a</i>+<i>e</i>) von der <i>Apoapsis</i> (<i>Perihel, Aphel</i> bei der Sonne).

</p><p>In der Periapsis (Perizentrum, gravizentrumsnaher Hauptscheitel) ist die <a href="Orbitalgeschwindigkeit_(Astronomie)" class="mw-redirect" title="Orbitalgeschwindigkeit (Astronomie)">Orbitalgeschwindigkeit</a> maximal, im Apozentrum minimal.

</p><p>Die tatsächliche mittlere Entfernung ist neben der großen Halbachse auch von der <a href="Exzentrizit%C3%A4t_(Astronomie)" title="Exzentrizität (Astronomie)">numerischen Exzentrizität</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon =e/a}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon =e/a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60a07e77c13ae311b1de1222c2bd09534157f18c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.658ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon =e/a}" loading="lazy"></span> abhängig und beträgt

</p>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot \left(1+{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3b3f6ea97a9d8b185de5ce6669ad60396da79c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.307ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle a\cdot \left(1+{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\right)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geodäsie"><span id="Geod.C3.A4sie"></span>Geodäsie</h2></div>

<p>In der <a href="Geod%C3%A4sie" title="Geodäsie">Geodäsie</a> sind die Achsen der sogenannten <a href="Fehlerellipse" title="Fehlerellipse">Fehlerellipsen</a> ein wichtiges Darstellungsmittel der mittleren beziehungsweise maximalen/minimalen Punktfehler. Bei der <a href="Ausgleichsrechnung" class="mw-redirect" title="Ausgleichsrechnung">Ausgleichung</a> von <a href="Netz_(Geod%C3%A4sie)" title="Netz (Geodäsie)">geodätischen Netzen</a> lässt sich die <a href="Genauigkeit" title="Genauigkeit">Genauigkeit</a>, mit der die einzelnen <a href="Vermessungspunkt" title="Vermessungspunkt">Vermessungspunkte</a> des Netzes bestimmt sind, als Fehlerellipse darstellen.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Erwin Groten: <i>Zur Definition des mittleren Punktfehlers</i>. In: <i>Zeitschrift für Vermessungswesen</i> (ZfV), 11/1969, S. 455–457.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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